V roce 1971 obhajuje svoji rigorózní práci “Návrh modelu mikrostrukturálních procesů v bouřkovém oblaku” a v roce 1976 svou kandidátskou disertaci “Vliv aerosolů na sluneční radiaci procházející atmosférou” (školitel Stanislav Brandejs). Od roku 1975 rovněž působí na katedře jako odborný asistent. V roce 1973 prof. Bednář přebírá od prof. Brandejse (a po prof. Podzimkovi, který 1970 emigroval do USA) přednášku Šíření akustických a elektromagnetických vln v atmosféře. V roce 1975  dále přebírá od doc. Zikmundy přednášky Fyzika oblaků a srážek a Fyzika mezní vrstvy atmosféry (původně také po prof. Podzimkovi). V roce 1991 prof. Bednář obhajuje svoji habilitační práci “Atmosférické aerosoly a jejich vliv na elektromagnetickou radiaci procházející zemským ovzduším” a v roce 1997 je jmenován profesorem v oboru meteorologie.

Témata tří přednášek, které prof. Bednář v sedmdesátých letech začíná přednášet, dále rozvíjí ve své výuce, pracích a projektech a postupně se stala ústředními tématy jeho další vědecké kariéry. Jeho záběr byl nicméně mnohem širší, a to od základních témat dynamické meteorologie, termodynamiky a fyziky atmosféry až například po modely šíření znečištění v atmosféře.  Prof. Bednář se během let v těchto oblastech stal uznávaným odborníkem i pedagogem. Celý svůj profesní život působil na dnešní Katedře fyziky atmosféry MFF UK, na jejímž životě se až do posledních chvil aktivně podílel. Na začátku devadesátých let významně přispěl k transformaci a osamostatnění katedry, a její další profilaci pod jménem Katedra meteorologie a ochrany prostředí. Například zcela jasně pochopil, že je do odborného profilu katedry potřeba velmi rychle vstřebat nové přístupy, zejména na poli numerických předpovědních metod. Nové metody nikdy nevnímal jako konkurenci nebo ohrožení tradičních přístupů, ale naopak, viděl zde možnost syntézy a vzájemného doplnění. Od roku 1992 byl zástupcem vedoucího katedry (kterým byl doc. Zikmunda) a od června 1996 do února 2006 katedru vedl, dále byl řadu let opět zástupcem vedoucího Byl oblíbeným a vstřícným vyučujícím, a to nejen na Matematicko-fyzikální fakultě, ale i v Ústavu pro životní prostředí Přírodovědecké fakulty. Výukou a vedením řady diplomových a doktorských prací se spolupodílel na výchově mnoha odborníků působících dnes v české meteorologii. Výuku a vzdělávání obecně promýšlel do hloubky, nejen po čistě odborné stránce, ale i v celkovém kontextu vysokoškolského vzdělávání a vzhledem k možnostem uplatnění absolventů. Na toto téma se také mj. nejednou vyjadřoval i na stránkách Meteorologických zpráv. Vysokou důležitost přikládal i třetí roli univerzity a dalšímu vzdělávání odborné veřejnosti. K tomu také přispíval svou publikační činností, která byla z velké části zaměřená právě na odborníky v meteorologii a fyzice atmosféry. Mezi jeho nejvýraznější knihy v tomto směru patří Fyzika mezní vrstvy atmosféry (Bednář a Zikmunda, 1985), Pozoruhodné jevy v atmosféře (Bednář, 1989), Příručka dynamické meteorologie (Bednář a Pechala, 1991) a Jak vzniká počasí (Kopáček a Bednář, 2005). Kromě monografií je také autorem nebo spoluautorem cca 140 původních vědeckých, referativních a popularizačních časopiseckých prací a vysokoškolských učebnic.  V neposlední řadě byl taky velmi oblíbeným přednášejícím Univerzity třetího věku na MFF UK.

Krom práce na katedře se prof. Bednář významně podílel také na řízení univerzity. Mezi lety1993 a 1997 byl členem Akademického senátu Univerzity Karlovy a v letech 1997 až 2000 zastával funkci jeho předsedy. Na začátku roku 2006 se prof. Bednář stal prorektorem pro studijní záležitosti a tuto funkci zastával do roku 2010. Univerzitu Karlovu rovněž zastupoval v předsednictvu Rady vysokých škol, kde působil jako místopředseda od roku 2000 do roku 2011. V období 1999–2005 byl členem vědecké rady Matematicko-fyzikální fakulty UK a v letech 2006-2010 členem vědecké rady Univerzity Karlovy.

Prof. Bednář působil také v orgánech Akademie věd České republiky, kde byl členem sněmu a po jedno funkční údobí byl členem dozorčí komise. Ve vědecké radě Ústavu fyziky atmosféry Akademie věd České republiky působil v letech 1990 až 2002. Od roku 1991 byl rovněž členem redakční rady časopisu Meteorologické Zprávy a působil i v redakční radě časopisu Ochrana ovzduší.

Klíčové bylo jeho působení v České meteorologické společnosti, v níž v letech 1981 až 1993 působil jako tajemník a mezi lety 1993 až 2008 ji vedl jako předseda. Významně tak přispěl k jejímu směřování i odborným aktivitám. Od 80. let 20. století se aktivně podílel na činnosti terminologické skupiny ČMeS a zásadně přispěl k vydání knižního Meteorologického slovníku výkladového a terminologického (1993). Kromě vlastního zpracování stovek hesel hlavně z oborů dynamické meteorologie, fyziky záření, atmosférické optiky, elektřiny a kvality ovzduší provedl i revizi odborných zkratek a matematických výrazů v celém slovníku. Po obnovení terminologické skupiny v roce 2010 se opět zapojil do její činnosti. V rámci revize a elektronizace slovníku se vyjádřil k více než čtvrtině z téměř 5000 hesel, které v současnosti Elektronický meteorologický slovník obsahuje, přičemž stovky z nich upravil a více než 100 nových hesel navrhl. Patřil tak k nejaktivnějším členům terminologické skupiny. Česká meteorologická terminologie mu ležela na srdci, což dokládá i fakt, že slovníková hesla ještě v průběhu roku 2025 nadále pročítal a vedoucímu terminologické skupiny odeslal celkem dvanáct souborů dílčích připomínek k jednotlivým skupinám hesel. Přínos prof. Bednáře pro českou meteorologickou komunitu ocenila ČMeS udělením Ceny prof. Stanislava Hanzlíka za mimořádný přínos pro rozvoj oboru.